Hur förhåller sig mätning av ett kvanttillstånd med hjälp av en observerbar till egenvektorer och egenvärden?
När man mäter ett kvanttillstånd med hjälp av en observerbar spelar begreppet egenvektorer och egenvärden en viktig roll. Inom kvantmekaniken representeras observerbara av hermitiska operatorer, som är matematiska konstruktioner som motsvarar fysiska storheter som kan mätas. Dessa operatorer har en uppsättning egenvärden och egenvektorer associerade med dem.
En egenvektor för en observerbar är ett kvanttillstånd som, när det observerbara mäts, kommer att ge ett bestämt värde för motsvarande fysiska storhet. Med andra ord, mätning av det observerbara på en egenvektor kommer alltid att ge ett specifikt egenvärde. Matematiskt kan detta uttryckas som ekvationen:
A |ψ⟩ = a |ψ⟩
där A är det observerbara, |ψ⟩ är en egenvektor, a är motsvarande egenvärde och symbolen |…⟩ representerar ett kvanttillstånd.
Egenvärdet a representerar de möjliga resultaten av mätningen av det observerbara A. Varje egenvektor |ψ⟩ motsvarar ett annat egenvärde a. Uppsättningen av alla möjliga egenvärden för en observerbar är känd som spektrumet för den observerbara.
För att mäta ett kvanttillstånd med hjälp av en observerbar, måste vi förbereda systemet i en superposition av dess möjliga egenvektorer. Detta kan uppnås genom att tillämpa en enhetlig transformation på systemet. Det resulterande tillståndet kommer att vara en linjär kombination av egenvektorerna, med komplexa koefficienter som kallas sannolikhetsamplituder.
När mätningen utförs kollapsar systemet till en av egenvektorerna med en sannolikhet som bestäms av den kvadratiska storleken på motsvarande sannolikhetsamplitud. Mätresultatet kommer att vara det egenvärde som är associerat med egenvektorn.
Tänk till exempel det observerbara som motsvarar positionen för en partikel i en dimension. Egenvektorerna för denna observerbara är positionens egentillstånd, representerade som |x⟩, där x är en specifik position längs dimensionen. Egenvärdena är de möjliga positioner som partikeln kan inta.
Om vi förbereder partikeln i en superposition av positionsegentillstånd, såsom (|x1⟩ + |x2⟩)/√2, och mäter den observerbara positionen, får vi antingen x1 eller x2 som mätresultat, var och en med en sannolikhet för 1/2.
När man mäter ett kvanttillstånd med hjälp av en observerbar representerar egenvektorerna de möjliga mätresultaten, medan egenvärdena motsvarar de värden som kan erhållas vid mätning. Sannolikheten att erhålla ett visst egenvärde bestäms av den kvadratiska storleken på motsvarande sannolikhetsamplitud.
Andra senaste frågor och svar ang EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals:
- Är kvant-Fouriertransformen exponentiellt snabbare än en klassisk transform, och är det därför den kan göra svåra problem lösbara med en kvantdator?
- Vad betyder det för qubitar med blandat tillstånd som går under Bloch-sfärens yta?
- Vilken var historien bakom dubbelspaltsexperimentet och hur relaterar det till vågmekanik och kvantmekanikens utveckling?
- Är amplituder av kvanttillstånd alltid reella tal?
- Hur fungerar quantum negation gate (quantum NOT eller Pauli-X gate)?
- Varför är Hadamard-porten självvändbar?
- Om du mäter den första qubiten av Bell-tillståndet i en viss bas och sedan mäter den andra qubiten i en bas roterad med en viss theta-vinkel, är sannolikheten att du får projektion till motsvarande vektor lika med kvadraten av sinus av theta?
- Hur många bitar av klassisk information skulle behövas för att beskriva tillståndet för en godtycklig qubit-superposition?
- Hur många dimensioner har ett utrymme på 3 qubits?
- Kommer mätningen av en qubit att förstöra dess kvantöverlagring?
Se fler frågor och svar i EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals