I sfären av kvantinformation är konceptet med kvanttillstånd och deras associerade amplituder grundläggande. För att ta itu med frågan om amplituden för ett kvanttillstånd måste vara ett reellt tal, är det absolut nödvändigt att överväga kvantmekanikens matematiska formalism och principerna som styr kvanttillstånd.
Kvantmekanik representerar tillståndet för ett kvantsystem med hjälp av ett matematiskt objekt som kallas en vågfunktion eller tillståndsvektor, typiskt betecknad med (psi) (psi) eller (ket{psi}) i Dirac-notation. Denna tillståndsvektor finns i ett komplext vektorrum som kallas Hilbert-utrymme. Elementen i detta utrymme, tillståndsvektorerna, är i allmänhet komplext värderade funktioner.
Amplituden för ett kvanttillstånd hänvisar till de koefficienter som uppträder i expansionen av tillståndsvektorn i termer av en vald bas. För ett kvantsystem som beskrivs av en tillståndsvektor ( ket{psi} ), om vi uttrycker detta tillstånd i termer av en bas ( { ket{phi_i} } ), har vi:
[ ket{psi} = sum_i c_i ket{phi_i} ]Här är (c_i) de komplexa amplituder associerade med bastillstånden (ket{phi_i}). Dessa amplituder (c_i) är i allmänhet komplexa tal. Detta är en direkt följd av kravet på att det inre produktutrymmet ska vara komplett och för att rymma principerna om kvantöverlagring och interferens.
Amplitudernas komplexa natur är viktig av flera skäl:
1. Superpositionsprincipen: Kvantmekaniken tillåter överlagring av tillstånd. Om (ket{psi_1}) och (ket{psi_2}) är två giltiga kvanttillstånd, då är vilken linjär kombination som helst (alfa ket{psi_1} + beta ket{psi_2}), där ( alfa ) och ( beta ) är komplexa tal, är också ett giltigt kvanttillstånd. De komplexa koefficienterna (alfa) och (beta) representerar amplituderna för respektive tillstånd i superpositionen.
2. Sannolikhetstolkning: Sannolikheten för att mäta ett visst utfall i ett kvantsystem bestäms av amplitudens modul i kvadrat. Om (c_i) är amplituden för ett tillstånd (ket{phi_i}), ges sannolikheten (P_i) för att mäta tillståndet (ket{phi_i}) av:
[ P_i = |c_i|^2 = c_i^* c_i ]där (c_i^*) är det komplexa konjugatet av (c_i). Denna sannolikhet måste vara ett reellt tal mellan 0 och 1, men själva amplituden ( c_i ) kan vara komplex.
3. Interferenseffekter: Amplituders komplexa natur är väsentlig för att beskriva interferensfenomen. När två eller flera kvantbanor interfererar, är den resulterande amplituden summan av de individuella amplituder, och fasskillnaden mellan dessa komplexa amplituder leder till konstruktiv eller destruktiv interferens. Detta är en grundläggande aspekt av fenomen som dubbelslitsexperimentet.
4. Enhetsutveckling: Tidsutvecklingen för ett kvanttillstånd styrs av Schrödinger-ekvationen, som involverar den Hamiltonska operatorn. Lösningarna på denna ekvation är i allmänhet komplexa funktioner. De enhetliga operatorerna som beskriver evolutionen bevarar normen för tillståndsvektorn men kan ändra dess fas, vilket kräver att amplituderna är komplexa.
För att illustrera dessa punkter, överväg ett enkelt exempel på en qubit, den grundläggande enheten för kvantinformation. En qubit kan vara i en överlagring av bastillstånden ( ket{0} ) och ( ket{1} ):
[ ket{psi} = alfa ket{0} + beta ket{1} ]Här är ( alfa ) och ( beta ) komplexa tal så att ( |alfa|^2 + |beta|^2 = 1 ). Detta normaliseringsvillkor säkerställer att den totala sannolikheten för att hitta kvantbiten i antingen tillstånd (ket{0}) eller (ket{1}) är 1. Den komplexa naturen hos (alfa) och (beta) möjliggör en rik struktur av kvanttillstånd och är avgörande för kvantberäknings- och informationsbearbetningsuppgifter.
Tänk till exempel på Hadamard-porten, en grundläggande kvantport som används för att skapa superpositionstillstånd. När den tillämpas på bastillståndet (ket{0}), producerar Hadamard-porten tillståndet:
[ ket{+} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} + ket{1}) ]Här är amplituden för både ( ket{0} ) och ( ket{1} ) ( frac{1}{sqrt{2}} ), vilket är ett reellt tal. Men om vi tillämpar Hadamard-porten på staten ( ket{1} ), får vi:
[ ket{-} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} – ket{1}) ]I det här fallet är amplituden för ( ket{1} ) ( -frac{1}{sqrt{2}} ), vilket fortfarande är reellt. Tänk ändå på en fasgrind, som introducerar en komplex fasfaktor. Fasgrinden (R(theta)) verkar på ett qubit-tillstånd (ket{psi} = alfa ket{0} + beta ket{1}) enligt följande:
[ R(theta) ket{psi} = alfa ket{0} + beta e^{itheta} ket{1} ]Här är ( e^{itheta} ) ett komplext tal med enhetsmodul. Denna operation visar tydligt att tillståndets amplitud (ket{1}) kan få en komplex fasfaktor, vilket understryker nödvändigheten av komplexa amplituder i kvantmekaniken.
Tänk vidare på fenomenet kvantintrassling, där tillståndet för en partikel är naturligt kopplat till tillståndet hos en annan, oavsett avståndet mellan dem. Ett intrasslat tillstånd av två qubits kan representeras som:
[ ket{psi} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{00} + e^{iphi} ket{11}) ]Här är (e^{iphi}) en komplex fasfaktor, som visar att den relativa fasen mellan komponenterna i det intrasslade tillståndet är viktig för att beskriva intrasslingsegenskaperna.
Vid kvantberäkning är användningen av komplexa amplituder oumbärlig för implementering av kvantalgoritmer. Till exempel, Shors algoritm för faktorisering av stora heltal och Grovers algoritm för ostrukturerad sökning förlitar sig båda på interferens av komplexa amplituder för att uppnå sin exponentiella snabbhet jämfört med klassiska algoritmer.
Nödvändigheten av komplexa amplituder är också uppenbar i samband med kvantfelskorrigering. Kvantfelkorrigerande koder, såsom Shor-koden eller Steane-koden, kodar logiska qubits till intrasslade tillstånd med flera fysiska qubits. De komplexa amplituderna i dessa koder säkerställer att fel kan upptäckas och korrigeras utan att kvantinformationen kollapsar.
Amplituden för ett kvanttillstånd behöver inte vara ett reellt tal. Den komplexa karaktären hos kvantamplituder är en grundläggande aspekt av kvantmekaniken, vilket möjliggör beskrivning av superposition, interferens och intrassling. Användningen av komplexa tal är avgörande för den matematiska konsistensen av kvantteorin och det praktiska genomförandet av kvantinformationsbearbetningsuppgifter.
Andra senaste frågor och svar ang EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals:
- Hur fungerar quantum negation gate (quantum NOT eller Pauli-X gate)?
- Varför är Hadamard-porten självvändbar?
- Om man mäter den 1:a qubiten i Bell-tillståndet på en viss bas och sedan mäter den 2:a qubiten i en bas roterad med en viss vinkel theta, är sannolikheten att du kommer att få projektion till motsvarande vektor lika med kvadraten på sinus för theta?
- Hur många bitar av klassisk information skulle behövas för att beskriva tillståndet för en godtycklig qubit-superposition?
- Hur många dimensioner har ett utrymme på 3 qubits?
- Kommer mätningen av en qubit att förstöra dess kvantöverlagring?
- Kan kvantgrindar ha fler ingångar än utgångar på samma sätt som klassiska grindar?
- Inkluderar den universella familjen av kvantportar CNOT-porten och Hadamard-porten?
- Vad är ett dubbelslitsexperiment?
- Är rotation av ett polariserande filter likvärdigt med att ändra basen för fotonpolarisationsmätning?
Se fler frågor och svar i EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals