Är stoppproblemet med en Turing-maskin avgörbart?
Frågan om huruvida stoppproblemet med en Turing-maskin är avgörbart är en grundläggande fråga inom teoretisk datavetenskap, särskilt inom områdena beräkningskomplexitetsteori och avgörbarhet. Stopningsproblemet är ett beslutsproblem som informellt kan anges enligt följande: med en beskrivning av en Turing-maskin och en ingång, avgör om Turing-maskinen så småningom kommer att stanna när den körs med den ingången, eller om den kommer att köra för alltid.
För att ta itu med avgörbarheten av stoppproblemet är det viktigt att förstå själva begreppet avgörbarhet. Ett problem sägs vara avgörbart om det finns en algoritm som kan ge ett korrekt ja-eller-nej-svar för varje instans av problemet under en begränsad tid. Omvänt är ett problem oavgörbart om det inte finns någon sådan algoritm.
Det stoppande problemet introducerades först och visade sig vara oavgörbart av Alan Turing 1936. Turings bevis är ett klassiskt exempel på ett diagonaliseringsargument och involverar en smart användning av självreferens och motsägelse. Beviset kan beskrivas på följande sätt:
1. Antagande om beslutbarhet: Antag, för motsägelsens skull, att det finns en Turingmaskin ( H ) som kan avgöra stoppproblemet. Det vill säga, (H) tar som ingång ett par ((M, w) ), där (M) är en beskrivning av en Turing-maskin och (w) är en inmatningssträng, och (H(M, w)) returnerar " ja" om (M) stannar på (w) och "nej" om (M) inte stannar på (w).
2. Konstruktion av en paradoxal maskin: Använd ( H ), konstruera en ny Turing-maskin ( D ) som tar en enda ingång ( M ) (en beskrivning av en Turing-maskin) och beter sig enligt följande:
– ( D(M) ) körs ( H(M, M) ).
– Om ( H(M, M) ) returnerar "nej", så stannar ( D(M) ).
– Om ( H(M, M) ) returnerar "ja", går ( D(M) ) in i en oändlig slinga.
3. Självreferens och motsägelse: Tänk på beteendet hos ( D ) när det ges en egen beskrivning som input. Låt (d) vara beskrivningen av (D). Vi har då två fall:
– Om ( D(d) ) stannar, måste enligt definitionen av ( D ), ( H(d, d) ) returnera "nej", vilket betyder att ( D(d) ) inte ska stanna - en motsägelse.
– Om ( D(d) ) inte stannar, måste enligt definitionen av ( D ), ( H(d, d) ) returnera "ja", vilket betyder att (D(d) ) ska stanna – återigen en motsägelse .
Eftersom båda fallen leder till en motsägelse måste det initiala antagandet att ( H ) existerar vara falskt. Därför är stoppproblemet oavgörbart.
Detta bevis visar att det inte finns någon generell algoritm som kan lösa stoppproblemet för alla möjliga Turing-maskiner och ingångar. Oavgörbarheten i det stoppande problemet har djupgående konsekvenser för beräkningens gränser och vad som kan bestämmas algoritmiskt. Det visar att det finns inneboende begränsningar för vad som kan beräknas, och vissa problem är utom räckhåll för någon algoritm.
För att ytterligare illustrera konsekvenserna av stoppproblemet, överväg följande exempel:
- Programverifiering: Man kanske vill verifiera att ett givet program avslutas för alla möjliga ingångar. På grund av stoppproblemets oavgörbarhet är det omöjligt att skapa en allmän programverifierare som kan avgöra, för alla möjliga program och indata, om programmet kommer att stoppas.
- Systemtestning: Inom cybersäkerhet kanske man vill analysera om en del av skadlig programvara så småningom kommer att sluta exekvera. Oavgörbarheten i stoppproblemet innebär att det inte finns någon generell algoritm som kan avgöra om en viss skadlig programvara kommer att stoppas.
- Matematiska bevis: Det stoppande problemet är relaterat till Gödels ofullständighetsteorem, som säger att det i vilket som helst tillräckligt kraftfullt formellt system finns sanna påståenden som inte kan bevisas inom systemet. Oavgörbarheten i stoppproblemet visar att det finns frågor om beteendet hos algoritmer som inte kan besvaras inom ramen för algoritmisk beräkning.
Oavgörbarheten av stoppproblemet leder också till begreppet reducerbarhet i beräkningskomplexitetsteori. Ett problem ( A ) sägs kunna reduceras till ett problem ( B ) om en lösning på ( B ) kan användas för att lösa ( A ). Om stoppproblemet var avgörbart, skulle många andra oavgörbara problem också kunna avgöras genom att reducera till stoppproblemet. Men eftersom stoppproblemet är oavgörbart, är varje problem som kan reduceras till stoppproblemet också oavgörbart.
Problemet med att stoppa en Turing-maskin är oavgörbart. Detta resultat är en hörnsten i teoretisk datavetenskap och har långtgående konsekvenser för vår förståelse av beräkningar, algoritmiska gränser och den matematiska sanningens natur.
Andra senaste frågor och svar ang avgörbarhet:
- Kan ett band begränsas till storleken på ingången (vilket motsvarar att turingmaskinens huvud är begränsat att röra sig bortom ingången på TM-bandet)?
- Vad betyder det att olika varianter av Turing-maskiner är likvärdiga i beräkningskapacitet?
- Kan ett turing igenkännbart språk utgöra en delmängd av avgörbart språk?
- Om vi har två TM som beskriver ett avgörbart språk är likvärdighetsfrågan fortfarande oavgjord?
- Hur skiljer sig acceptansproblemet för linjära avgränsade automater från det för Turing-maskiner?
- Ge ett exempel på ett problem som kan avgöras av en linjärt begränsad automat.
- Förklara begreppet avgörbarhet i samband med linjära avgränsade automater.
- Hur påverkar storleken på bandet i linjära avgränsade automater antalet distinkta konfigurationer?
- Vad är den största skillnaden mellan linjära avgränsade automater och Turing-maskiner?
- Beskriv processen att omvandla en Turing-maskin till en uppsättning brickor för PCP, och hur dessa brickor representerar beräkningshistoriken.
Se fler frågor och svar i Beslutbarhet