Processen att omvandla en Turing-maskin till en uppsättning brickor för Post Correspondence Problem (PCP) involverar flera steg som gör att vi kan representera beräkningshistoriken för Turing-maskinen med dessa brickor. I den här förklaringen kommer vi att överväga detaljerna i denna process och lyfta fram dess didaktiska värde.
PCP är ett välkänt oavgörligt problem inom beräkningskomplexitetsteorin. Det involverar en uppsättning dominoliknande brickor, var och en med två strängar skrivna på dem, och frågan är om det finns en sekvens av brickor som kan arrangeras i en specifik ordning så att sammanlänkningen av de översta strängarna matchar sammanlänkningen av bottensträngar.
För att förvandla en Turing-maskin till en uppsättning brickor för PCP:n måste vi överväga Turing-maskinens beräkningshistorik. Beräkningshistoriken fångar tillståndsövergångarna och bandändringarna som inträffar under körningen av Turing-maskinen. Varje steg i beräkningshistoriken motsvarar en konfiguration av Turing-maskinen, som inkluderar det aktuella tillståndet, bandinnehållet och huvudpositionen.
Först måste vi definiera en uppsättning brickor som kan representera Turing-maskinens tillstånd och symboler. Låt oss anta att vi har en Turing-maskin med en uppsättning tillstånd Q och ett alfabet Σ. Vi kan representera varje tillstånd q ∈ Q som en bricka med två strängar: en sträng representerar den övre delen av brickan, och den andra strängen representerar den nedre delen av brickan. På liknande sätt kan varje symbol σ ∈ Σ representeras som en bricka med två strängar.
Därefter måste vi designa brickor som representerar tillståndsövergångar och tejpmodifieringar. För varje övergång δ(q, σ) = (q', σ', D), där q och q' är tillstånd, σ och σ' är symboler och D är riktningen (vänster eller höger), skapar vi en mängd av plattor. Dessa brickor representerar övergången från tillstånd q till tillstånd q', ersättningen av symbolen σ med symbolen σ', och rörelsen av bandhuvudet i riktning D.
För att representera beräkningshistoriken arrangerar vi brickorna i en sekvens som motsvarar de steg som tagits av Turing-maskinen. Varje bricka i sekvensen representerar en konfiguration av Turing-maskinen vid ett visst steg. Genom att undersöka de översta strängarna på brickorna i sekvensen kan vi rekonstruera bandinnehållet vid varje steg. På liknande sätt, genom att undersöka de nedre strängarna på brickorna, kan vi rekonstruera tillståndsövergångarna och tejpmodifieringarna.
Låt oss till exempel betrakta en Turing-maskin som ökar ett binärt tal med 1. Maskinen har två tillstånd: q0 och q1, och alfabetet består av två symboler: 0 och 1. Vi kan omvandla denna Turing-maskin till en uppsättning brickor för PCP enligt följande:
– Plattor som representerar stater:
– Kakel 1: Översta strängen: q0, Nedre strängen: q0
– Kakel 2: Översta strängen: q1, Nedre strängen: q1
– Plattor som representerar symboler:
– Kakel 3: Översta strängen: 0, Nedre strängen: 0
– Kakel 4: Översta strängen: 1, Nedre strängen: 1
– Plattor som representerar tillståndsövergångar och tejpmodifieringar:
– Kakel 5: Översta sträng: q0,0,q1,1,R, Nedre sträng: q1,1,q0,0,R
Genom att arrangera dessa brickor i en sekvens som motsvarar beräkningshistoriken kan vi representera Turing-maskinens exekvering. Till exempel, om Turing-maskinen startar med bandinnehållet "101" och huvudet initialt placerat på symbolen längst till vänster, kan beräkningshistoriken representeras av följande sekvens av brickor:
Kakel 1, Kakel 3, Kakel 2, Kakel 4, Kakel 1
Genom att undersöka de översta strängarna på dessa brickor kan vi rekonstruera bandinnehållet vid varje steg: "101", "101", "101", "101", "101". På liknande sätt, genom att undersöka bottensträngarna, kan vi rekonstruera tillståndsövergångarna och tejpmodifikationerna: q0,0,q1,1,R; ql,1,1,q0,0,R; q0,0,ql,1,1,R; q1,1,q0,0,R.
Att omvandla en Turing-maskin till en uppsättning brickor för PCP innebär att representera tillstånden, symbolerna, tillståndsövergångarna och tejpmodifikationerna för Turing-maskinen med hjälp av brickor. Genom att arrangera dessa brickor i en sekvens kan vi representera Turing-maskinens beräkningshistorik. Denna transformation tillåter oss att studera egenskaperna och obestämbarheten hos PCP i samband med Turing-maskiner.
Andra senaste frågor och svar ang avgörbarhet:
- Kan ett band begränsas till storleken på ingången (vilket motsvarar att turingmaskinens huvud är begränsat att röra sig bortom ingången på TM-bandet)?
- Vad betyder det att olika varianter av Turing-maskiner är likvärdiga i beräkningskapacitet?
- Kan ett turing igenkännbart språk utgöra en delmängd av avgörbart språk?
- Är stoppproblemet med en Turing-maskin avgörbart?
- Om vi har två TM som beskriver ett avgörbart språk är likvärdighetsfrågan fortfarande oavgjord?
- Hur skiljer sig acceptansproblemet för linjära avgränsade automater från det för Turing-maskiner?
- Ge ett exempel på ett problem som kan avgöras av en linjärt begränsad automat.
- Förklara begreppet avgörbarhet i samband med linjära avgränsade automater.
- Hur påverkar storleken på bandet i linjära avgränsade automater antalet distinkta konfigurationer?
- Vad är den största skillnaden mellan linjära avgränsade automater och Turing-maskiner?
Se fler frågor och svar i Beslutbarhet