Inom området för beräkningskomplexitetsteori spelar begreppet beslutbarhet en grundläggande roll. Ett språk sägs vara avgörbart om det finns en Turing-maskin (TM) som kan avgöra, för varje given ingång, om den tillhör språket eller inte. Ett språks avgörbarhet är en viktig egenskap, eftersom den låter oss resonera om språket och dess egenskaper algoritmiskt.
Ekvivalensfrågan för Turing-maskiner handlar om att avgöra om två givna TM:er känner igen samma språk. Formellt, givet två TMs M1 och M2, frågar ekvivalensfrågan om L(M1) = L(M2), där L(M) representerar språket som känns igen av TM M.
Det allmänna problemet med att bestämma ekvivalensen av två TM:er är känt för att vara oavgörbart. Det betyder att det inte finns någon algoritm som alltid kan avgöra om två godtyckliga TM:er känner igen samma språk eller inte. Detta resultat bevisades av Alan Turing i hans framstående arbete om beräkningsbarhet.
Det är dock viktigt att notera att detta resultat gäller för det allmänna fallet med godtyckliga TM. I det specifika fallet där båda TM:erna beskriver avgörbara språk, blir ekvivalensfrågan avgörbar. Detta beror på att beslutbara språk är de för vilka det finns en TM som kan avgöra medlemskap i språket. Därför, om två TMs beskriver avgörbara språk, kan vi konstruera ett nytt TM som avgör deras ekvivalens.
För att illustrera detta, låt oss överväga ett exempel. Anta att vi har två TM:er M1 och M2 som beskriver avgörbara språk. Vi kan konstruera en ny TM M som avgör deras ekvivalens enligt följande:
1. Givet en ingång x, simulera M1 på x och M2 på x samtidigt.
2. Om M1 accepterar x och M2 accepterar x, acceptera då.
3. Om M1 förkastar x och M2 förkastar x, acceptera då.
4. Avvisa annars.
Genom konstruktion kommer TM M att acceptera en ingång x om och endast om både M1 och M2 accepterar x, eller både M1 och M2 avvisar x. Detta betyder att M bestämmer ekvivalensen av M1 och M2 för varje given ingång x.
Medan det allmänna problemet med att bestämma ekvivalensen för två godtyckliga TM:er är oavgörbart, om TM:erna beskriver avgörbara språk, blir ekvivalensfrågan avgörbar. Detta beror på att avgörbara språk kan avgöras av ett TM, vilket gör att vi kan konstruera ett TM som avgör deras ekvivalens. Avgörbarheten av likvärdighetsfrågan för TM som beskriver avgörbara språk ger viktiga insikter om beräkningskomplexiteten hos dessa språk.
Andra senaste frågor och svar ang avgörbarhet:
- Kan ett band begränsas till storleken på ingången (vilket motsvarar att turingmaskinens huvud är begränsat att röra sig bortom ingången på TM-bandet)?
- Vad betyder det att olika varianter av Turing-maskiner är likvärdiga i beräkningskapacitet?
- Kan ett turing igenkännbart språk utgöra en delmängd av avgörbart språk?
- Är stoppproblemet med en Turing-maskin avgörbart?
- Hur skiljer sig acceptansproblemet för linjära avgränsade automater från det för Turing-maskiner?
- Ge ett exempel på ett problem som kan avgöras av en linjärt begränsad automat.
- Förklara begreppet avgörbarhet i samband med linjära avgränsade automater.
- Hur påverkar storleken på bandet i linjära avgränsade automater antalet distinkta konfigurationer?
- Vad är den största skillnaden mellan linjära avgränsade automater och Turing-maskiner?
- Beskriv processen att omvandla en Turing-maskin till en uppsättning brickor för PCP, och hur dessa brickor representerar beräkningshistoriken.
Se fler frågor och svar i Beslutbarhet