Frågan om huruvida ett SAT-problem (Boolean satisfiability) kan vara ett NP-komplett problem är en grundläggande fråga inom beräkningskomplexitetsteorin. För att ta itu med detta är det viktigt att överväga definitionerna och egenskaperna för NP-fullständighet och undersöka det historiska och teoretiska sammanhanget som ligger till grund för klassificeringen av SAT som ett NP-komplett problem.
Definitioner och sammanhang
SAT-problem: SAT-problemet innebär att bestämma om det finns en tilldelning av sanningsvärden till variabler som gör en given boolesk formel sann. En boolesk formel uttrycks vanligtvis i konjunktiv normalform (CNF), där formeln är en konjunktion av satser, och varje sats är en disjunktion av bokstaver. En formel kan till exempel se ut så här:
NP (Nondeterministisk polynomtid): Ett beslutsproblem finns i NP om en given lösning kan verifieras som korrekt eller felaktig i polynomtid av en deterministisk Turing-maskin. I huvudsak, om du har en kandidatlösning, kan du kontrollera dess giltighet effektivt.
NP-komplett: Ett problem är NP-komplett om det uppfyller två villkor:
1. Det är i NP.
2. Varje problem i NP kan reduceras till det i polynomtid.
Begreppet NP-fullständighet introducerades av Stephen Cook i hans framstående artikel från 1971 "The Complexity of Theorem-Proving Procedures", där han visade att SAT-problemet är det första kända NP-kompletta problemet. Detta resultat är nu känt som Cook's Theorem.
Cooks teorem och dess konsekvenser
För att förstå varför SAT är NP-komplett måste vi fastställa två nyckelpunkter:
1. SAT är i NP.
2. Varje problem i NP kan reduceras till SAT i polynomtid.
SAT är i NP
För att verifiera att SAT är i NP, tänk på att givet en boolesk formel och en föreslagen tilldelning av sanningsvärden till dess variabler, kan vi kontrollera om formeln evalueras till sann i polynomtid. Detta innebär att man utvärderar varje sats i formeln för att se om minst en bokstavlig i varje sats är sann. Eftersom att utvärdera en boolesk formel är en enkel process som involverar ett begränsat antal logiska operationer, kan det göras effektivt. Således är SAT i NP eftersom vi kan verifiera en lösning i polynomtid.
Polynom-tidsreduktion
Den mer utmanande delen av att bevisa att SAT är NP-komplett är att visa att varje problem i NP kan reduceras till SAT i polynomtid. Detta innebär att demonstrera att det för alla problem i NP finns en polynom-tidsberäknbar funktion som omvandlar instanser av problemet till instanser av SAT så att det ursprungliga problemet har en lösning om och endast om den transformerade SAT-instansen är tillfredsställbar.
För att illustrera detta, överväg ett generiskt problem i NP. Per definition finns det en icke-deterministisk polynom-tid Turing-maskin
som avgör
. Maskinen
har en polynom-tid-verifieringsprocess som kan kontrollera om ett givet certifikat (lösning) är giltigt. Vi kan koda driften av
på en ingång
som en boolesk formel så att formeln är tillfredsställbar om och endast om
accepterar
.
Kodningen innefattar följande steg:
1. Konfigurationskodning: Koda konfigurationerna (tillstånd, bandinnehåll och huvudpositioner) för som booleska variabler. Varje konfiguration kan representeras av en sekvens av bitar.
2. Övergångskodning: Koda övergångsfunktionen för som en uppsättning booleska begränsningar. Dessa begränsningar säkerställer att giltiga övergångar mellan konfigurationer fångas upp.
3. Initiala och accepterande stater: Koda den initiala konfigurationen (när maskinen startar) och den accepterande konfigurationen (när maskinen stannar och accepterar) som booleska begränsningar.
Genom att konstruera en boolesk formel som fångar beteendet hos , skapar vi en instans av SAT som är tillfredsställbar om och endast om det finns en sekvens av giltiga övergångar som leder till ett accepterande tillstånd. Denna reduktion kan utföras i polynomtid i förhållande till storleken på inmatningen
.
Exempel: Sänkning från 3-SAT till SAT
För att ytterligare belysa konceptet med polynom-tidsreduktion, överväg det specifika fallet att reducera 3-SAT till SAT. 3-SAT-problemet är ett specialfall av SAT där varje sats har exakt tre bokstaver. För att reducera 3-SAT till SAT kan vi helt enkelt observera att alla 3-SAT-instanser redan är i den form som krävs av SAT (dvs. en CNF-formel). Därför är reduktionen trivial och kan göras i linjär tid, vilket är en polynom-tidsreduktion.
Implikationer av att SAT är NP-komplett
Klassificeringen av SAT som NP-komplett har djupgående konsekvenser för beräkningskomplexitetsteori och praktisk problemlösning. Eftersom SAT är NP-komplett kan alla problem i NP översättas till en SAT-instans. Denna universalitet innebär att SAT fungerar som ett riktmärke för komplexiteten i andra problem. Om vi kan hitta en polynom-tidsalgoritm för att lösa SAT, kan vi lösa alla NP-problem i polynomtid, vilket innebär .
Omvänt, om vi bevisar att det inte finns någon polynom-tidsalgoritm för SAT, skulle det innebära att . Trots omfattande forskning är frågan om
är fortfarande ett av de mest betydande öppna problemen inom datavetenskap.
Praktiska tillämpningar
I praktiken används SAT-lösare i stor utsträckning inom olika domäner, inklusive programvaruverifiering, artificiell intelligens och kryptografi. Moderna SAT-lösare utnyttjar sofistikerade algoritmer och heuristik för att hantera stora och komplexa instanser effektivt, trots den teoretiska NP-fullständigheten hos SAT. Dessa lösare har gjort det möjligt att ta itu med verkliga problem som tidigare var svårlösta.
Slutsats
SAT-problemet är verkligen ett NP-komplett problem, som fastställts av Cook's Theorem. Denna klassificering är baserad på det faktum att SAT är i NP och att varje problem i NP kan reduceras till SAT i polynomtid. Konsekvenserna av att SAT är NP-komplett är långtgående och påverkar både teoretisk forskning och praktiska tillämpningar inom datavetenskap.
Andra senaste frågor och svar ang Komplexitet:
- Är PSPACE-klassen inte lika med EXPSPACE-klassen?
- Är P-komplexitetsklassen en delmängd av PSPACE-klassen?
- Kan vi bevisa att Np och P klass är samma genom att hitta en effektiv polynomlösning för alla NP kompletta problem på en deterministisk TM?
- Kan NP-klassen vara lika med EXPTIME-klassen?
- Finns det problem i PSPACE som det inte finns någon känd NP-algoritm för?
- Kan ett problem vara i NP-komplexitetsklass om det finns en icke deterministisk turingmaskin som löser det i polynomtid
- NP är klassen av språk som har polynomiska tidsverifierare
- Är P och NP faktiskt samma komplexitetsklass?
- Är varje sammanhang fritt språk i P-komplexitetsklassen?
- Finns det en motsägelse mellan definitionen av NP som en klass av beslutsproblem med polynomtidsverifierare och det faktum att problem i klassen P också har polynomtidsverifierare?
Se fler frågor och svar i Complexity