I samband med Advanced Encryption Standard (AES) blockchifferkrypteringssystem är det viktigt att förstå egenskaperna hos ett fält, särskilt ett Galois Field (GF). Ett Galois-fält, även känt som ett ändligt fält, är ett fält som innehåller ett ändligt antal element. Egenskaperna för sådana fält är grundläggande för många kryptografiska algoritmer, inklusive AES.
Ett fält i matematik är en algebraisk struktur som består av en mängd utrustad med två operationer som generaliserar de aritmetiska operationerna addition och multiplikation. Dessa operationer måste uppfylla flera egenskaper, som är indelade i två huvudkategorier: egenskaperna för själva operationerna och egenskaperna hos fältelementen under dessa operationer.
Egenskaper för operationer i ett fält
1. Stängning: För två valfria element och
i fält, båda
och
finns också i fält. Detta innebär att endera operationen på alla element i fältet alltid kommer att ge ett annat element inom samma fält.
2. associativitet: För alla element ,
och
i fält är följande sant:
-
-
Associativitet säkerställer att grupperingen av element inte påverkar resultatet av verksamheten.
3. Kommutativitet: För alla element och
i fält är följande sant:
-
-
Kommutativitet säkerställer att ordningen i vilken två element kombineras inte påverkar resultatet.
4. Identitetselement: Det finns två distinkta element i fältet, vanligtvis betecknade som och
, så att för alla element
på fältet:
-
-
Dessa är kända som den additiva identiteten respektive den multiplikativa identiteten.
5. Omvända element: För varje element i fältet finns det element
och
i fältet så att:
-
- (För
)
Dessa är kända som additiv invers respektive multiplikativ invers.
6. Distributivitet: För alla element ,
och
i fält är följande sant:
-
Denna egenskap kopplar samman de två operationerna addition och multiplikation.
Egenskaper för fältelement i Galois-fält
När det gäller Galois Fields, särskilt , som används i AES, representeras fältelementen som polynom över ett binärt fält
. Detta innebär att varje element kan uttryckas som ett polynom med koefficienter i
.
1. Finita antal element: Ett Galoisfält innehåller exakt
element. För AES,
, Så
innehåller 256 element.
2. Polynomrepresentation: Varje element i kan representeras som ett polynom med grad mindre än 8 med koefficienter in
. Till exempel kan elementet 5 i decimal representeras som det binära talet 00000101, vilket motsvarar polynomet
.
3. Oreducerbart polynom: Fältet är konstruerad med ett irreducerbart polynom av grad 8. Ett irreducerbart polynom kan inte inkluderas i produkten av två lägre grads polynom över
. För AES är det irreducerbara polynomet som används typiskt
.
4. Addition och multiplikation: Tillägg i utförs genom att addera motsvarande koefficienter för polynomen modulo 2 (vilket är ekvivalent med XOR-operationen i binär). Multiplikation är mer komplex och involverar polynom multiplikation modulo det irreducerbara polynomet. Till exempel att multiplicera två element
och
in
, beräknar du produkten
och ta sedan resten när de divideras med det irreducerbara polynomet.
5. Multiplikativa inverser: Varje element som inte är noll i har en unik multiplikativ invers. Detta betyder för alla element som inte är noll
, det finns ett element
Så att
. Att hitta den multiplikativa inversen är avgörande i kryptografiska algoritmer för operationer som AES MixColumns-steget.
Exempel och applikationer i AES
AES-algoritmen använder i stor utsträckning egenskaperna hos . Här är några specifika exempel på hur dessa egenskaper tillämpas:
1. SubByte Steg: I detta steg ersätts varje byte i tillståndsmatrisen med dess motsvarande värde från en substitutionsbox (S-box). S-boxen är konstruerad med hjälp av den multiplikativa inversen in följt av en affin transformation. Användningen av den multiplikativa inversen säkerställer icke-linjäritet, vilket är viktigt för chifferns säkerhet.
2. MixColumns Steg: Detta steg involverar matrismultiplikation över . Varje kolumn i tillståndsmatrisen behandlas som ett polynom och multipliceras med ett fixerat polynom modulo det irreducerbara polynomet. Denna operation säkerställer diffusion och sprider inflytandet av varje ingångsbyte över flera utmatningsbytes.
3. Nyckelexpansion: AES-nyckelschemat innefattar generering av runda nycklar från den initiala nyckeln. Denna process inkluderar operationer i , såsom tillämpningen av S-boxen och polynommultiplikation.
Matematisk grund
Den rigorösa matematiska grunden för Galois Fields säkerställer att de kryptografiska operationerna är både effektiva och säkra. Den ändliga naturen hos dessa fält möjliggör exakt och förutsägbart beteende, vilket är väsentligt för den deterministiska karaktären hos krypterings- och dekrypteringsprocesser. Egenskaperna för stängning, associativitet, kommutativitet, identitetselement, inversa element och distributionsförmåga ger ett robust ramverk för dessa operationer.
Dessutom säkerställer polynomrepresentationen och användningen av ett irreducerbart polynom att varje element i fältet kan representeras unikt och manipuleras. Denna unikhet är avgörande för den bijektiva naturen hos S-boxen och inverterbarheten av MixColumns-transformationen.
Att förstå egenskaperna hos ett fält, särskilt ett Galois-fält, är viktigt för att förstå de inre funktionerna i AES-blockchifferkryptosystemet. Den matematiska rigoriteten och strukturen som tillhandahålls av dessa egenskaper säkerställer säkerheten och effektiviteten för de kryptografiska operationerna. Genom att utnyttja den ändliga naturen hos och fältens algebraiska egenskaper uppnår AES en hög säkerhetsnivå mot olika kryptografiska attacker.
Andra senaste frågor och svar ang AES-krypterings krypteringssystem:
- Är AES baserade på ändliga fält?
- Vann Rijndael chiffer ett tävlingssamtal av NIST för att bli AES-kryptosystemet?
- Kan vi säga hur många irreducerbara polynom som finns för GF(2^m)?
- Varför i FF GF(8) tillhör inte det irreducerbara polynomet i sig samma fält?
- Vad är AES MixColumn Sublayer?
- Kan ett fält betraktas som en uppsättning tal där man kan addera, subtrahera och multiplicera men inte dividera?
- Är AES-kryptosystemet baserat på ändliga fält?
- Förklara betydelsen av nyckelstorleken och antalet rundor i AES, och hur de påverkar säkerhetsnivån som tillhandahålls av algoritmen.
- Vilka är de huvudsakliga operationerna som utförs under varje omgång av AES-algoritmen, och hur bidrar de till den övergripande säkerheten i krypteringsprocessen?
- Beskriv processen för kryptering med AES, inklusive nyckelexpansionsprocessen och de transformationer som tillämpas på data under varje omgång.
Se fler frågor och svar i AES block cipher cryptosystem