Inom området klassisk kryptografi, särskilt i samband med AES-blockchifferkrypteringssystemet, spelar konceptet Galois Fields (GF) en viktig roll. Galois-fält är ändliga fält som används för olika operationer i AES, såsom multiplikation och division. En viktig aspekt av Galois Fields är förekomsten av irreducerbara polynom, som är polynom som inte kan inkluderas i lägre grads polynom över samma fält.
I fallet med GF(8), som är ett Galoisfält med 8 element, är det irreducerbara polynomet som används x^3 + x + 1. Detta polynom är valt för att det uppfyller de nödvändiga egenskaperna för att konstruera Galoisfältet. Det är dock viktigt att notera att detta irreducerbara polynom i sig inte tillhör samma fält.
För att förstå varför det irreducerbara polynomet inte tillhör GF(8), måste vi överväga definitionen av ett fält. I matematik är ett fält en uppsättning element med två binära operationer, vanligtvis addition och multiplikation, som uppfyller vissa egenskaper. En av dessa egenskaper är stängning, vilket innebär att resultatet av en operation på två valfria element i fältet också är en del av fältet.
I fallet med GF(8) representeras fältets element av polynom med grad mindre än 3 med koefficienter i GF(2), som är det binära fältet. Adderingsoperationen i GF(8) utförs modulo 2, vilket innebär att koefficienterna för polynomen adderas modulo 2. Multiplikationsoperationen utförs å andra sidan modulo det irreducerbara polynomet x^3 + x + 1.
Låt oss nu betrakta det irreducerbara polynomet x^3 + x + 1. Om vi försöker addera eller multiplicera detta polynom med något annat polynom i GF(8), kommer vi inte att få ett polynom som uppfyller closure-egenskapen. Till exempel, om vi adderar x^3 + x + 1 med x^2, får vi x^3 + x^2 + x + 1. Detta polynom har en grad som är större än 2, så det tillhör inte GF(8) ).
På liknande sätt, om vi multiplicerar x^3 + x + 1 med x^2, får vi x^5 + x^3 + x^2. För att föra detta polynom till GF(8) måste vi utföra multiplikationen modulo x^3 + x + 1. Men eftersom x^5 har en grad som är större än 3, kan vi inte reducera den modulo x^3 + x + 1 för att få ett polynom i GF(8).
Därför tillhör det irreducerbara polynomet x^3 + x + 1 inte GF(8) eftersom det inte uppfyller fältets stängningsegenskap. Det är viktigt att förstå denna distinktion eftersom det irreducerbara polynomet används i AES för olika operationer, men det är inte en del av själva fältet.
För att sammanfatta, i samband med GF(8) och AES-blockchifferkryptosystemet, används det irreducerbara polynomet x^3 + x + 1 för att konstruera Galoisfältet. Detta irreducerbara polynom i sig tillhör dock inte GF(8) eftersom det inte uppfyller fältets closure-egenskap. Att förstå denna distinktion är viktigt för att korrekt implementera och analysera AES-algoritmen.
Andra senaste frågor och svar ang AES-krypterings krypteringssystem:
- Är AES baserade på ändliga fält?
- Vilka egenskaper har ett fält?
- Vann Rijndael chiffer ett tävlingssamtal av NIST för att bli AES-kryptosystemet?
- Kan vi säga hur många irreducerbara polynom som finns för GF(2^m)?
- Vad är AES MixColumn Sublayer?
- Kan ett fält betraktas som en uppsättning tal där man kan addera, subtrahera och multiplicera men inte dividera?
- Är AES-kryptosystemet baserat på ändliga fält?
- Förklara betydelsen av nyckelstorleken och antalet rundor i AES, och hur de påverkar säkerhetsnivån som tillhandahålls av algoritmen.
- Vilka är de huvudsakliga operationerna som utförs under varje omgång av AES-algoritmen, och hur bidrar de till den övergripande säkerheten i krypteringsprocessen?
- Beskriv processen för kryptering med AES, inklusive nyckelexpansionsprocessen och de transformationer som tillämpas på data under varje omgång.
Se fler frågor och svar i AES block cipher cryptosystem